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Análisis Matemático 66

2025 PALACIOS PUEBLA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 4 - Funciones elementales II

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7. Utilizando las propiedades de simetría y periodicidad, resuelva exactamente las siguientes ecuaciones en los dominios indicados:
c) tan⁡(x)=1,x∈R\tan (x)=1, x \in \mathbb{R}

Respuesta

Para resolver la ecuación tan⁡(x)=1 \tan(x) = 1 , lo primero que tenemos que acordarnos es que tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}. Entonces, fijate que la tangente de un ángulo será igual a 1 cuando el seno y el coseno sean iguales, no? ¿Donde ocurrírá eso?
- Primer cuadrante: Seno y coseno son ambos positivos, y en π4 \frac{\pi}{4} ambos valen lo mismo (22 \frac{\sqrt{2}}{2} ) 
- Tercer cuadrante: Seno y coseno son ambos negativos. Buscamos el "ángulo equivalente" a π4\frac{\pi}{4} en el tercer cuadrante. Para eso, como vimos en la clase, hacemos π+π4=5π4\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}. En este ángulo, seno y coseno valen −22 -\frac{\sqrt{2}}{2} y, por lo tanto, su división nos da 11, que es lo queremos.

Si ahora le sumamos 2kπ2k\pi para contemplar todas las soluciones posibles, nos quedarían las soluciones 

x=π4+2kπ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi  

y 

x=5π4+2kπ x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi . 

Y si terminás acá el ejercicio tampoco estaría mal, pero fijate algo... Si sumamos π \pi a π4 \frac{\pi}{4} , obtenemos 5π4 \frac{5\pi}{4} :
π4+π=5π4 \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}
Así que en lugar de escribir dos series de soluciones separadas, podemos combinarlas en una sola de la siguiente forma: x=π4+kπ x = \frac{\pi}{4} + k\pi donde k k es cualquier número entero. Y listo =)
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