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Análisis Matemático 66
2024
PALACIOS PUEBLA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
7.
Utilizando las propiedades de simetría y periodicidad, resuelva exactamente las siguientes ecuaciones en los dominios indicados:
c) $\tan (x)=1, x \in \mathbb{R}$
c) $\tan (x)=1, x \in \mathbb{R}$
Respuesta
Para resolver la ecuación \( \tan(x) = 1 \), lo primero que tenemos que acordarnos es que $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Entonces, fijate que la tangente de un ángulo será igual a 1 cuando el seno y el coseno sean iguales, no? ¿Donde ocurrírá eso?
Reportar problema
- Primer cuadrante: Seno y coseno son ambos positivos, y en \( \frac{\pi}{4} \) ambos valen lo mismo (\( \frac{\sqrt{2}}{2} \))
- Tercer cuadrante: Seno y coseno son ambos negativos. Buscamos el "ángulo equivalente" a $\frac{\pi}{4}$ en el tercer cuadrante. Para eso, como vimos en la clase, hacemos $\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$. En este ángulo, seno y coseno valen \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) y, por lo tanto, su división nos da $1$, que es lo queremos.
Si ahora le sumamos $2k\pi$ para contemplar todas las soluciones posibles, nos quedarían las soluciones
\( x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \)
y
\( x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \).
Y si terminás acá el ejercicio tampoco estaría mal, pero fijate algo... Si sumamos \( \pi \) a \( \frac{\pi}{4} \), obtenemos \( \frac{5\pi}{4} \):
$ \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} $
Así que en lugar de escribir dos series de soluciones separadas, podemos combinarlas en una sola de la siguiente forma:
$ x = \frac{\pi}{4} + k\pi $
donde \( k \) es cualquier número entero. Y listo =)